2026年CGMO的几何题的解答

1. 题目

如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC>90^\circ$，$D$ 是 $A$ 关于 $BC$ 的对称点。点 $P$ 在 $AB$ 的延长线上，$\angle ACP$ 的平分线交 $AB$ 于点 $X$。边 $BC$ 上的点 $Q$ 满足 $\angle XQB + \angle AXC = 90^\circ$。求证：$\angle PDQ + \angle BAC = 180^\circ$。

2. 分析

显然，这里面第一步就是要想如何处理互余的条件。

2.1. 如何处理条件

注意到 $CX$ 是一条角平分线，因此我们可以考虑内、外角平分线的夹角来构造 $90^\circ$。

我们作 $\angle ACP$ 的外角平分线 $CY$，与 $PA$ 的延长线交于点 $Y$。考虑以 $XY$ 为直径的圆：

这是一个非常经典的图形──阿波罗尼斯圆（阿氏圆）。

在这个图形中，常用的几个结论如下：

• $CX\perp CY$；
• 在以 $XY$ 为直径的圆上的任意一点 $T$，均满足 $\frac{TA}{TP} = \frac{CA}{CP}$；
• $X$、$Y$ 调和分割 $A$、$P$。

由条件可知，

$$\angle XQB = 90^\circ - \angle AXC = \angle XYC$$

因此点 $Q$ 就在这个阿氏圆上！

接下来处理要证明的结论，即 $\angle PDQ$。

2.2. 如何处理结论

有前面点 $Q$ 的位置可知

$$\frac{DQ}{PQ} = \frac{AQ}{PQ} = \frac{AC}{PC}$$

而由结论可知 $\angle PDQ$ 和 $\angle PAC$ 是互补的，因此 $\sin \angle PDQ = \sin \angle PAC$。结合正弦定理可反推出

$$\angle APC = \angle QPD$$

这也是我们接下来考虑要证明的方向。

可以看到，$\triangle APC$ 和 $\triangle PQD$ 这两个三角形有两组边成比例，一个角相等，但是不相似。我们可以考虑如何利用 $\angle APC$ 找到一个三角形与 $\triangle PQD$ 相似。

如果熟悉调和点列的话，会知道下面的结论：

设点 $O$ 是 $XY$ 的中点（即阿氏圆的圆心），由 $P$、$X$、$A$、$Y$ 成调和点列可知

$$OA\cdot OP = \left(\frac{1}{2}XY\right)^2 = OC^2$$

因此 $\triangle OAC\sim \triangle OCP$。

于是 $\angle OCP = \angle OAC = 180^\circ-\angle PAC = \angle PDQ$。

因此我们要证明的相似就是

$$\triangle OCP \sim \triangle QDP$$

当然，这个相似的两个等角都是我们通过结论反推出来的，没有办法直接证明，因此一个自然的思路就是转而去证明

$$\triangle POQ \sim \triangle PCD$$

而这个证明比较简单了。

显然

$$\angle POQ = 2\angle XCQ = \angle PCD$$

其中后一个等式可以由题目中两个对称性的条件得到。

而对应的边的条件则需要利用前面调和点列得到的相似：

$$\frac{OQ}{OP} = \frac{OC}{OP} = \frac{AC}{CP} = \frac{CD}{CP}$$

这样就可以一路反推回去了。

3. 解答

设 $\triangle APC$ 的外角平分线 $CY$ 与直线 $AP$ 的延长线交于点 $Y$，则 $\angle XCY = 90^\circ$，$(A,P; X,Y)=-1$。

由

$$\angle XQB = 90^\circ - \angle AXC = \angle XYC$$

可知 $X$、$Q$、$C$、$Y$ 共圆。设其圆心为 $O$，即为 $XY$ 的中点。

由 $(A,P ; X,Y) = -1$ 可知

$$OA\cdot OP = \left(\frac{1}{2}XY\right)^2 = OC^2$$

于是有 $\triangle OAC \sim \triangle OCP$，可知

$$\angle OCP = \angle OAC = 180^\circ - \angle BAC$$

且

$$\frac{OQ}{OP} = \frac{OC}{OP} = \frac{AC}{CP} = \frac{CD}{CP}$$

又注意到

$$\angle XOQ = 2\angle XCQ = \angle PCD$$

因此

$$\triangle PQO \sim \triangle PDC \implies \triangle PQD \sim \triangle POC$$

于是

$$\angle PDQ = \angle PCO = 180^\circ - \angle BAC$$

结论成立。